İstanbul Üniversitesi Tiyatro Bölümünden mezun olan Mehmet Özgür, sanat yaşamına, Antalya'da bir dil kursunda katıldığı tiyatro etkinliğiyle 1988 yılında başladı. Ertesi yıl Antalya Halkevi'nde tiyatro çalışmalarına ağırlık verdi. Daha sonra 1993 yılında Antalya Devlet Tiyatrosu'nda görev alan sanatçı, ilk kez 2004 yılında kamera karşısına geçerek, bir TV dizisinde rol üstlendi. 2008-2011 yılları arasında yayınlanan Kollama dizisindeki Necip Yılmaz rolü ile tanındı, 2012 yılında yayınlanan Suskunlar dizisindeki "Takoz İrfan" rolüyle büyük ün kazandı. Ardından Muhteşem Yüzyıl, Çalıkuşu, Filinta gibi önemli dizilerde oynadı.
Çeşitli TV dizileri ve sinema filmlerinde oyunculuk yapan Özgür, ayrıca bazı tiyatro oyunlarında yönetmenlik de yaptı.
